Pêndulo simples (Experiência de laboratório)
Um pêndulo
simples é constituído por um fio, cuja a massa é desprezível, que tem uma
extremidade fixa e a outra presa a um peso. Quando a resultante das forças que
atuam sobre o peso do pêndulo for nula, dizemos que ele está em equilíbrio, ou
seja ele está parado. Quando o peso é elevado a uma certa altura e depois é
solto, a resultante das forças deixa de ser nula, e ele passa a estar em
movimento.
Decompondo as
forças que atuam sobre o peso temos:
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| Força resultante - Fonte:https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsJAKh65q5JYc3WjsKYkI5NYH2R_N0UULIu81Lj4E99zM8kT8mXSySvnBjsoCr8Xm3MRrF1eXBVCRsGWXTyjPvTlr1X8Wb0DeANkBbsS-CdenQ0xqVyN07R2VnUT2I0MoQ1Ve4-Jh4J80/s1600/b6A.PNG |
Assim temos que a força resultante P’ que atua sobre o pêndulo
é P’=m*g*senθ. Onde g é a aceleração da gravidade e θ
é o ângulo que o pêndulo faz com o eixo de equilíbrio (posição de equilíbrio),
essa força P´ sempre ira em direção ao ponto de equilíbrio, ou seja ela é
uma força restauradora.
Uma
das principais características do pêndulo simples, é a sua repetição, porque após
um intervalo de tempo de t, o movimento começa a se repedir, ou
seja seu movimento é periódico. Esse intervalo de tempo é definido como período,
e o movimento que o pêndulo realiza em um período é chamado oscilação. A equação
do período do pêndulo é dada pela seguinte equação.
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| Equação do período de um pêndulo simples |
Onde t é o período do pêndulo,
l
é seu comprimento, e g é a aceleração
da gravidade, essa equação é deduzida a parti da equação do período de um
oscilador harmônico simples.
Podemos defini
que um oscilador harmônico simples, é composto por uma mola que é esticada
e depois é solta, de forma a realizar um movimento de vai e vem, em torno de
seu ponto de equilíbrio, de forma análoga ao movimento do pêndulo, porem no
oscilador harmônico a força restauradora é força elástica Fe, que é dada por Fe=k*x,
onde
k é a constante elástica, e x é a distensão da mola.
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| Equação do período de um oscilador harmônico simples |
Assim quando o ângulo θ que o pêndulo oscila estiver 0º < θ ≤ 10º,
o arco que o pêndulo descreve será aproximadamente igual a x (deslocamento na
horizontal), como é descrito na Figura 1, assim pode-se comparar o movimento do
pêndulo como o movimento de um oscilador harmônico simples, mas isso só é
possível quando 0º < θ ≤ 10º, pois quanto isso acontece o sen θ≅θ (com θ em
radianos), o que implica que sen θ ≅ tg θ, e sendo a tg θ= x/l temos:
Tendo a força restauradora do pêndulo
em função do deslocamento x,
podemos compara-la com a força restauradora de um oscilador harmônico simples.
Com
isso temos para o pêndulo um valor de uma constante que é equivalente ao k
da mola. Logo ao substituímos esse novo valor de k na equação da Figura 3.
Temos:
Portanto essa equação do período só é válida quando 0º < θ ≤ 10º,
pois nesse intervalo o pêndulo ira se comportar como um oscilador harmônico
simples
Para verificar como essas equações funcionam podemos fazer um pêndulo
simples e depois calcular aceleração da gravidade local, coisa que já foi feita
aqui no blog utilizando o Tracker, mas dessa vez, o experimento vai ser
realizado em um laboratório utilizando os equipamentos corretos.
Material
1) Transferidor
2) Barbante (corda)
3) 3 Objetos com massas aferidas
4) Cronômetro e suporte
universal
Esquema de montagem experimental
Procedimento
Será medido o
período de oscilação (com pequena amplitude) de 6 pêndulos diferentes, variando
o peso e o comprimento, e será anotado os resultados em tabelas abaixo. Em
seguida, determinaremos o período de oscilação do pêndulo, ou seja, o tempo de
uma oscilação.
Questionamentos e respostas
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| Dados do experimento |
1 - Você
percebe alguma relação entre o comprimento do pêndulo e o seu período de
oscilação? Qual?
Sim, quando diminuímos o comprimento
do pêndulo, o seu período diminui.
2 - Você
percebe alguma relação entre a massa do pêndulo e o seu período de oscilação?
Qual?
Não, pois quando a massa do pêndulo varia,
não se tem uma diferença significativa no período.
3 - Caso
dois pêndulos, um de 2 metros de comprimento e outro de 150 centímetros, sejam
postos a oscilar, qual deles terá maior período de oscilação? E qual terá maior
frequência?
Entre os dois pêndulos, o que terá o
maior período de oscilação será o que tive maior comprimento, nesse casso o
pêndulo de 2 m. Em quando isso o pêndulo de 150 cm terá uma frequência maior,
pois ele terá um período menor.
4 - Verificou-se que existe uma relação entre o período de
oscilação de um pêndulo simples e seu comprimento. Essa relação pode ser
verificada a partir da seguinte equação:
Onde T é o período e l é o comprimento.
5 - Calcule para cada pêndulo o valor dessa constante, e
verifique se ela realmente é uma constante. Anote os resultados na tabela
abaixo:
6 - Faça uma análise dimensional para descobrir qual a unidade
dessa constante?
Chamando essa
constante de k temos:
7 - A que se refere essa constante?
Essa constante
tem como unidade de medida o m/s², ou seja, a constante é uma aceleração, mais
precisamente a aceleração da gravidade do planeta Terra.
8 - Quando esse experimento é realizado na Lua, essa constante
resulta em aproximadamente 1,622. Um pêndulo é colocado para oscilar na Terra e
outro, de mesmo comprimento, é colocado para oscilar na Lua. Esses pêndulos
terão o mesmo período de oscilação? Se não, qual deles oscila mais rapidamente?
Não, pois o
pêndulo da Lua vai oscilar como um período maior, em quando isso o pêndulo da
Terra irá oscilar mais rapidamente, pois seu período vai ser menor.
9 - Construa um gráfico (gráfico 1) de T = f (l).
10
- Construa um gráfico (gráfico 2) de T2 = f (l). Determine a
inclinação da reta obtida.
A inclinação da reta é de 3,4826.
11. Sendo o período de um pêndulo simples é dado por
,
determine a equação matemática vinculada ao coeficiente angular da reta obtida.
Onde
é o
coeficiente angula da reta.
é o
coeficiente angula da reta.
12 Determine o valor da aceleração da gravidade g a partir do
coeficiente angular da reta obtida.
Para calcular a aceleração da
gravidade usando o coeficiente linear da reta obtida na questão 7.10, temos que
considera que o coeficiente linear da reta é equivalente
, logo para obter a aceleração da gravidade
precisamos dividir 4π² pelo coeficiente angular da reta, que é igual a
Onde
se consideramos o período é o comprimento inicial iguais a zero temos
Conclusão
Através do experimento do pêndulo
simples foi possível obter a seguinte tabela de dados.
Ao observar a tabela, nota-se que para
os três primeiros pêndulos foi mantido o comprimento do pêndulo, e depois foi
colocada uma massa diferente em cada um dos pesos, com isso verificamos
pequenas variações no período, porem elas são tão pequenas que podemos
desconsiderar elas, concluindo assim que a massa do peso não influencia o
período do pêndulo.
Enquanto isso nos pêndulos
restantes, foi mantida a massa dos pesos, e depois foi colocado um comprimento
diferente em cada pêndulo, através da tabela percebe-se que quanto menor for o
comprimento do pêndulo, menor será o seu período. Ao construí um gráfico do
período em função do comprimento, como foi feito na questão 7.9, obtemos uma
reta inclinada para cima, mostrando assim que o período é diretamente
proporcional ao comprimento do pêndulo.
Como a frequência é o inverso do
período (f=1/T), nota-se que quando menor for o período, maior será a
frequência, considerando o que já foi observado anteriormente, temos que a
frequência é inversamente proporcional ao período e ao comprimento do pêndulo, e
independe da massa do peso.
Analisando a equação do período de
um pêndulo, nota-se que ele depende apenas do comprimento e da aceleração da
gravidade no local do experimento, como já temos o período do pêndulo, será
calculado a aceleração da gravidade local.
Isolando g
temos: g = 4π²l/T²
E substituindo valores temos a tabela abaixo:
Como o experimento foi feito na cidade de Manaus, ao
fazer os cálculos de desvio percentual será considerando o valor da aceleração
da gravidade local g= 9.7806 m/s², que foi obtido através internet usando
latitude e longitude. Assim vemos que os valores de g dos pêndulos 0 e 6, estão
muito distantes do valor esperado, podendo assim ter havido erros
durante a obtenção de dados, enquanto isso os valores de g dos pêndulos 4 e 5,
estão mais próximos do valor esperado.
Para obter as incertezas das acelerações [U(g)] será
calculado a propagação de erros através da seguinte equação, sendo o erro do cronometro
U(T)=0,0005 s, e o erro da régua U(l)=0,005 m, temos:
Fazendo todos os cálculos temos:
Assim dos quatros pêndulos
utilizados, notamos que o valor mais próximo da aceleração da gravidade local
(g= 9.7806 m/s²) é o do pêndulo 5 que vale g= (10,0170 ±
0,1068) m/s², e também o do pêndulo 4 que vale g= (10,6740 ± 0,0765)
m/s².
Em relação aos pêndulos 0 e 6, que tiveram
respectivamente g= (11,128 ± 0,0560) m/s² e g= (11,6660 ± 0,2204)
m/s², percebemos que mesmo com a incerteza da medida, o valor obtido do pêndulo
0 e 6 continuam muito distante do esperado, portando podemos dizer que foi
cometido algum erro de procedimento, ou durante a obtenção dessas medidas, seja
por leitura errada do instrumento, ou mesmo pela falta de um ambiente
devidamente controlado.
Essa postagem foi uma adaptação de um relatório para a disciplina de Laboratório de Física Geral I, para ter acesso ao relatório completo baixa aqui, na pasta de download além do relatório, vai estar uma tabela como os dados do experimento.
Usando o simulador abaixo você pode fazer uma análise mais detalhada sobre o movimento do pêndulo.
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